Shoftim, Devarim 16:21-22. Trees and Pillars in Synagogues

16:21 and 22  tell us that one may not plant a tree near the Mizbei'ach, and that a monolithic pillar may not be erected for the purposes of Avodah.

{כא} לא תטע לך אשרה כל עץ אצל מזבח יהוה אלהיך אשר תעשה לך: 

{כב} ולא תקים לך מצבה אשר שנא יהוה אלהיך:

These dinim have some relevance to us in our time as well.

Trees: 

Reb Akiva Eiger (Hagahos OC 150 d'h kofin) says that on the Rambam (6 AZ 9) that says הנוטע אילן אצל המזבח או בכל העזרה... לוקה, Rav David Arama says (I am quoting from the original, in his Peirush on the Rambam)

ונראה לעניות דעתי דאפילו אצל בית הכנסת – אסור מדרבנן. אבל אכסדראות, דאפילו במקדש אינן אלא מדרבנן משום גזירה – בבית הכנסת מותר.  

That means that Reb Akiva Eiger brings an opinion that planting trees "near a shul" is assur miderabanan. It goes without saying that nobody in our time is chosheish for Reb Akiva Eiger's mention of this daas yachid, especially since Reb David Arama himself seems to have decided on his own (נראה לעניות דעתי ) to extrapolate those issurim derabanan that liken a shul to the Mikdash to include this din. There are many reasons for being mattir, foremost among them that there is no source for any such issur derabanan, and post Gemara poskim cannot create any such issur without the kabala of Klal Yisrael, or at least their community, which never happened in this case. Also, as I said, it's a real daas yachid.  It is possible that even Reb Akiva Eiger did not mean it lehalacha.
(Rav David Arama, a rishon, is not to be confused with Rav Yitzchak Arama, the Baal HaAkeida.)

And if you're worried, and want to be machmir like RAE, here's advice. You can rely on Reb Shlomo Zalman Auerbach who was mattir potted trees, even in the Mikdash, even in an atzitz nakuv, a pot with a hole - because they're intended to be portable, and so are not included in the words אצל מזבח ה' אלהיך. It's not called "eitzel."  Reb Shlomo Zalman's opinion is found in his מעדני ארץ שביעית סימן א׳ אות ח,  where he says 

י"ל שהמעמיד עציץ נקוב נטוע במקדש אינו עובר בלאו דנטיעת אילנות במקדש משום דכיון שהוא דבר המיטלטל אין זה אצל מזבה ה׳ 

ומיהו לענין דין קרקע אינה נגזלת וכן לענין קנין משיכה שפיר חשיב עציץ נקוב כארץ עיין בכורי יעקב סי' תרמ"ט אות יוד ובהמקנה קדושין כ"ב ובדבר אברהם ח"א סימן יוד אות ה'

Pillars:

Rav Sternbuch, Shoftim 16:22 says that he heard a nice drush on this passuk. Sometimes, a shul will choose a Rav as a figurehead- not because they want leadership, or mussar, but because he looks good, he will give them prestige. This is like erecting a pillar near the mizbeach, and is despised by Hashem.

ולא תקים לך מצבה טז. כב

ושמעתי בזה רמז שפעמים שיש המכהן כרב שאינו אלא עטרה לקהלה דשמתכבדים בו שהוא רב מפורסם, אבל אינו פועל מאומה לחזוק הדת ולחזק שעורי תורה וכדו׳, והוא כמצבת אבן נדמה ושנאוי הוא זה על המקום ב״ה.