Chanuka: Lighting in Shul with a Bracha Before Shkia.

The Rashba holds that in general you can light before shkia, after Plag. He says that if you're yotzei erev Shabbos, then the zman applies all week.  The Gaon seems to pasken like that, and the Mishna Berura says you can rely on this and even make a bracha. The Aruch HaShulchan says you cannot rely on it on any day except erev Shabbos.
Mishna Berura  (It's reiterated in the Shaarei Tziyun) -

מפלג המנחה - הוא שעה ורביע קודם צה"כ וחשבינן השעה לפי קוצר היום דהיינו שעות זמניות. ויכול לברך ג"כ:

Aruch HaShulchan -

כתב רבינו הבית יוסף בסעיף א דיש מי שאומר שאם הוא טרוד – יכול להקדים להדליק מפלג המנחה ולמעלה, ובלבד שיתן בה שמן עד שתכלה רגל מן השוק. עד כאן לשונו.וראיה לדבר זה: שהרי בערב שבת מדליקין נר חנוכה קודם השקיעה. ובאמת יש ליזהר בערב שבת ליתן הרבה שמן, יותר מהשיעור שבכל יום לכל הפחות בנר אחד, כדי שידלק עד כדי שתכלה רגל מן השוק.אך באמת משבת אין ראיה, מפני שאי אפשר בעניין אחר. דאם לא כן להרמב"ם, דאחר שתכלה רגל מן השוק אין מדליקין, כמו שכתבתי – אין מדליקין נר חנוכה במוצאי שבת. אלא במקום דלא אפשר שאני, והכא נמי בערב שבת כן.

The Trumas Hadeshen, and the Mechaber paskens like him, says that even erev Shabbos kavsa ein zakuk lah. The Taz argues and says that erev Shabbos, kavsa zakuk lah.

Our minhag is to light in shul before maariv, with a bracha. Can you light in shul before shkia?  If you do, can you make a bracha?

The initial response would be that according to the Rashba/Gaon/Mishna Berura, you could light in shul after plag and make a bracha. According to the Aruch HaShulchan, you could not.

But in most shuls, they light lechatchila right after mincha and then they blow out the light before people leave. This is not right, because we only rely on Plag for neiros bedieved!
Second, when we light erev Shabbos, there has to be enough oil so that it will remain lit till tichleh regel min hashuk, and if you intend to blow it out, perhaps that's not sufficient to be mekayem the din of pirsum.  In many shuls, they blow it out right after Maariv, and rightly so, because leaving it alone is a sakana.
Also, in many cases, there's not even enough oil to stay lit so long, even if they would not blow it out.
So is this a scandal? It seems that it's probably a bracha levatala, and even if not, it's at best a bedieved, not to be relied on on a whim! Wait till Shkiya!

HOWEVER, I believe that the opposite is true. Everyone might agree that you could light in shul after plag and make a bracha, and you may blow it out lechatchila, and even the Taz would agree that ein zakuk lah.

This is because by regular neiros, the pirsum is based on the din pirsum for the rabbim, which has a zman and a shiur. But the neiros in shul are not for the rabbim, it's a different din, it's pirsum for the people who came to daven. The Beis Yosef tries to explain the basis for lighting in shul, and brings ideas from the Rivash and the Kolbo. But it is definitely not from the din of the Gemara. If so, we can say that the ikker pirsum of haklaka in shul is the people in shul, and if you don't make a bracha, there would be no pirsum. This svara is based on the words of the Mor UKetziyah in 672, who says:

ונ"ל ליישב קצת דעת הטור דמצוה זו דנ"ח שאני ודאי דברכתה מעכבת לפי שכל עיקרה לפרסומי ניסא וכי מדליק בלא ברכה לא מידי עביד דהרואה סבר לצרכו הוא דמדליק ולא מינכרא מילתא כלל דלשם מצוה קעביד. דוגמא לדבר ממ"ש בס"ד לעיל סימן קכ"ח. והך עדיפא והוא הדבר ג"כ שמברכין העולים לקה"ת ואע"פ שכבר ברכו ויצאו י"ח בהיית לעצמן. ולא דמיא לקריאת מגילה דבספיקא לא מברך משום דבלא ברכה נמי מיפרסם ניסא ע"י קריאתה וק"ל. והיינו טעמא דמברכינן עלה בבית הכנסת אע"פ שאין החיוב מדין התלמוד והיה די להדליק בבה"כ בלא ברכה דהא נמי לספיקא דמיא עם כל מה שהרבו המחברים לתת טעם להדלקה דבבה"כ כמ"ש כב"י משם הריב"ש והכלבו מידי ספיקא דדינא לא נפקא ואעפ"כ לא חששו לברכה שאינה צריכה מספק כי חשבוה צורך המצוה לעשותה כהוגן שאם ידליקוהו בלא ברכה אין בו פרסום הנס שיהיו סבורים שהדליקו נרות לצורך בה"כ וכיון שראו שהלכה רופפת אמרו שלא לזוז ממנהגן של ישראל שתורה היא בכל כיוצא בזה ומינה ניגמר אנן דה"ה המדליק בביתו מחמת ספק ג"כ לא הפסיד הברכה כך נ"ל בדעת הטור ושהב"י מודה לו בזה שאם אנו מצריכין להדליק מספק לא סגי דלא מברך ולכן קבע כן להלכה בסתם

According to the Mor Uktziyah, the hadlaka in shul has nothing to do with tichleh regel and it has nothing to do with the regular din of neiros. The pirsum is the act of lighting and making the bracha b'rabbim, davka in the shul in front of the mispallelim. Now if the ikker pirsum of the neiros in shul is for the mispallelim, and the ikker pirsum is making the bracha, then as long as it's the right day, as long as it's after plag, the minhag applies and you would make a bracha even if you intend to extinguish it right afterwards. The only holdover from the regular din neiros is that you only do this with a bracha at "night," but without a bracha in the mornning.  That, it seems to me, is what the halacha would be, even according to the Taz and the Aruch HaShulchan.